三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{2}$、$c = 6$、 $B = 45^\circ$ が与えられている。このとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 2\sqrt{2}$、$c = 6$、 $B = 45^\circ$ が与えられている。このとき、残りの辺の長さ$b$と角$A$, $C$を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて辺 $b$ を求める。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = (2\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2(2\sqrt{2})(6)\cos 45^\circ$

$b^2 = 8 + 36 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$b^2 = 44 - 24$

$b^2 = 20$

$b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

正弦定理を用いて角$A$を求める。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin A} = \frac{2\sqrt{5}}{\sin 45^\circ}$

$\sin A = \frac{2\sqrt{2} \sin 45^\circ}{2\sqrt{5}}$

$\sin A = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}$

$\sin A = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$A = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})$

角$C$を求める。

$A + B + C = 180^\circ$

$C = 180^\circ - A - B$

$C = 180^\circ - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}}) - 45^\circ$

$C = 135^\circ - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})$

3. 最終的な答え

$b = 2\sqrt{5}$

$A = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})$

$C = 135^\circ - \arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})$