座標平面上に2点A(1, 2), B(-3, 1)がある。次の点の座標を求めよ。 (1) 2点A, Bから等距離にあるx軸上の点C (2) 線分ABを2:1に内分する点D (3) 線分ABを2:3に外分する点E (4) 原点を重心とする△ABFの頂点F

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(1, 2), B(-3, 1)がある。次の点の座標を求めよ。

(1) 2点A, Bから等距離にあるx軸上の点C

(2) 線分ABを2:1に内分する点D

(3) 線分ABを2:3に外分する点E

(4) 原点を重心とする△ABFの頂点F

2. 解き方の手順

(1) 点Cはx軸上にあるので、C(x, 0)と表せる。AC = BCとなるxを求める。

$AC^2 = (x-1)^2 + (0-2)^2 = (x-1)^2 + 4$

$BC^2 = (x-(-3))^2 + (0-1)^2 = (x+3)^2 + 1$

$AC^2 = BC^2$より、

$(x-1)^2 + 4 = (x+3)^2 + 1$

$x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 1$

$-2x + 5 = 6x + 10$

$-8x = 5$

$x = -\frac{5}{8}$

したがって、点Cの座標は$(-\frac{5}{8}, 0)$。

(2) 線分ABを2:1に内分する点Dの座標を求める。内分点の公式を用いる。

$D = (\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)}{2+1}, \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{2+1})$

$D = (\frac{1-6}{3}, \frac{2+2}{3})$

$D = (-\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$

(3) 線分ABを2:3に外分する点Eの座標を求める。外分点の公式を用いる。

$E = (\frac{-3 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)}{2-3}, \frac{-3 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{2-3})$

$E = (\frac{-3-6}{-1}, \frac{-6+2}{-1})$

$E = (\frac{-9}{-1}, \frac{-4}{-1})$

$E = (9, 4)$

(4) 原点を重心とする△ABFの頂点Fの座標を求める。重心の公式を用いる。

点Fの座標を(x, y)とする。

重心の座標は$(\frac{1+(-3)+x}{3}, \frac{2+1+y}{3})$

これが原点(0, 0)に等しいので、

$\frac{1-3+x}{3} = 0$

$\frac{-2+x}{3} = 0$

$-2+x = 0$

$x = 2$

$\frac{2+1+y}{3} = 0$

$\frac{3+y}{3} = 0$

$3+y = 0$

$y = -3$

したがって、点Fの座標は(2, -3)。

3. 最終的な答え

(1) C($-\frac{5}{8}$, 0)

(2) D($-\frac{5}{3}$, $\frac{4}{3}$)

(3) E(9, 4)

(4) F(2, -3)