xy平面上に円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y = mx$ ($m > 1$) がある。円の中心をCとし、円と直線の交点を原点に近い順にA, Bとする。三角形ABCの面積をSとする。 (1) Sの最大値と、そのときの$\angle ACB$の大きさを求めよ。 (2) $m > 1$ の場合に、線分ABの長さを $m$ を用いて表せ。 (3) Sが最大値をとるときの $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

xy平面上に円 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と直線 $y = mx$ ($m > 1$) がある。円の中心をCとし、円と直線の交点を原点に近い順にA, Bとする。三角形ABCの面積をSとする。

(1) Sの最大値と、そのときの$\angle ACB$の大きさを求めよ。

(2) $m > 1$ の場合に、線分ABの長さを $m$ を用いて表せ。

(3) Sが最大値をとるときの $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円の中心Cは $(1, 1)$ である。円と直線の交点A, Bを求める。

円の方程式 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ に $y = mx$ を代入する。

$(x-1)^2 + (mx-1)^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + m^2x^2 - 2mx + 1 = 1$

$(1+m^2)x^2 - 2(1+m)x + 1 = 0$

この2解を $x_1, x_2$とすると、$x_1 + x_2 = \frac{2(1+m)}{1+m^2}$, $x_1 x_2 = \frac{1}{1+m^2}$

A, Bの座標はそれぞれ$(x_1, mx_1)$, $(x_2, mx_2)$である。

三角形ABCの面積Sは、点C(1, 1)と直線$y = mx$すなわち$mx - y = 0$の距離 $d$ と、線分ABの長さを用いて $S = \frac{1}{2} d \cdot AB$ と表せる。

点と直線の距離の公式より、$d = \frac{|m - 1|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (mx_2 - mx_1)^2} = \sqrt{(1+m^2)(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{(1+m^2)[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2]}$

$= \sqrt{(1+m^2) \left[ \left(\frac{2(1+m)}{1+m^2}\right)^2 - \frac{4}{1+m^2} \right]}$

$= \sqrt{(1+m^2) \left[ \frac{4(1+2m+m^2) - 4(1+m^2)}{(1+m^2)^2} \right]}$

$= \sqrt{(1+m^2) \frac{8m}{(1+m^2)^2}} = \sqrt{\frac{8m}{1+m^2}} = 2\sqrt{\frac{2m}{1+m^2}}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} \cdot 2 \sqrt{\frac{2m}{1+m^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{m^2+1}} \sqrt{\frac{2m}{1+m^2}} = |m-1|\sqrt{\frac{2m}{(1+m^2)^2}} = \frac{|m-1|}{1+m^2} \sqrt{2m}$

$m > 1$ より、$S = \frac{m-1}{1+m^2} \sqrt{2m}$

Sの最大値を求めるために、Sを微分する。しかし、$\angle ACB$を先に求める方が簡単。

$\angle ACB = 2\theta$ とおくと、

$\sin \theta = \frac{AB/2}{1} = \frac{1}{2} AB = \sqrt{\frac{2m}{1+m^2}}$. よって$\sin^2 \theta = \frac{2m}{1+m^2}$

$S = \frac{1}{2} (1)(1) \sin \angle ACB = \frac{1}{2} \sin 2\theta = \sin \theta \cos \theta = \sin \theta \sqrt{1-\sin^2\theta}$

$= \sqrt{\frac{2m}{1+m^2}} \sqrt{1 - \frac{2m}{1+m^2}} = \sqrt{\frac{2m}{1+m^2} \cdot \frac{1-2m+m^2}{1+m^2}} = \frac{\sqrt{2m(m-1)^2}}{1+m^2} = \frac{(m-1)\sqrt{2m}}{1+m^2}$

$t = \frac{2m}{1+m^2}$の最大値を求める。$(m-1)^2 \frac{2m}{1+m^2}$を微分すると、$m = \sqrt{2}$のときが最大値である。

$S = \frac{1}{2} d \cdot AB$ で$m = \sqrt{2}$とすると、

$AB = 2\sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{1+2}} = 2\sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+1}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}}$

$S = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{3}} \frac{2 \sqrt{2 \sqrt{2}}}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}-1) \sqrt{2 \sqrt{2}}}{3}$

$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$の時、$S = \frac{1}{2} (1)(1) = \frac{1}{2}$

$\frac{m-1}{1+m^2} \sqrt{2m}$の最大値は $m=\sqrt{2}$の時なので

$\frac{\sqrt{2} - 1}{1+2} \sqrt{2 \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2}-1) \sqrt{2 \sqrt{2}}}{3} = \frac{(\sqrt{2} - 1) 2^{3/4}}{3}$

$S = \frac{(\sqrt{2} - 1)}{3} (2^{3/4})$

$m = \sqrt{2}$ のとき $\sin \theta = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{1+2}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

$AB = \sqrt{2}$のとき、$\sin \angle ACB = 1, \angle ACB = \frac{\pi}{2}$.

$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}, \frac{2m}{1+m^2} = \frac{1}{2}, 4m = 1+m^2, m^2 - 4m + 1 = 0, m = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$m > 1$ なので $m = 2 + \sqrt{3}$.

$m = 2 + \sqrt{3}$のとき、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$で、$S = \frac{1}{2}$.

(2) 線分ABの長さは $2\sqrt{\frac{2m}{1+m^2}}$

(3) Sが最大になるのは、$\angle ACB = \frac{\pi}{2}$、すなわち、$m = 2 + \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) Sの最大値: 1/2、∠ACBの大きさ: π/2

(2) 線分ABの長さ: $2\sqrt{\frac{2m}{1+m^2}}$

(3) mの値: $2 + \sqrt{3}$