(1) 点A(-2, 3)を通り、直線 $l: 5x + 4y - 20 = 0$ に平行、垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。 (2) $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = k (k > 0)$ のとき、線分OAの垂直二等分線上の任意の点をPとする。$\vec{OP} = \vec{p}$ とするとき、$\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, k$ と媒介変数 $t$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

(1) 点A(-2, 3)を通り、直線 $l: 5x + 4y - 20 = 0$ に平行、垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

(2) $\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = k (k > 0)$ のとき、線分OAの垂直二等分線上の任意の点をPとする。$\vec{OP} = \vec{p}$ とするとき、$\vec{p}$ を $\vec{a}, \vec{b}, k$ と媒介変数 $t$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l: 5x + 4y - 20 = 0$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (5, 4)$ である。

直線 $l$ に平行な直線の法線ベクトルは $\vec{n} = (5, 4)$ に垂直なベクトルである。したがって、この直線の方向ベクトルは $\vec{v} = (4, -5)$ である。

点A(-2, 3)を通り、$\vec{v} = (4, -5)$ に平行な直線の方程式は、

$\frac{x - (-2)}{4} = \frac{y - 3}{-5}$

$-5(x + 2) = 4(y - 3)$

$-5x - 10 = 4y - 12$

$5x + 4y - 2 = 0$

直線 $l$ に垂直な直線の法線ベクトルは $\vec{n} = (5, 4)$ である。

点A(-2, 3)を通り、法線ベクトル $\vec{n} = (5, 4)$ を持つ直線の方程式は、

$5(x - (-2)) + 4(y - 3) = 0$

$5(x + 2) + 4(y - 3) = 0$

$5x + 10 + 4y - 12 = 0$

$5x + 4y - 2 = 0$

(2)

線分OAの中点をMとすると、$\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{a}$ である。

線分OAの垂直二等分線は、点Mを通り、$\vec{OA}$ に垂直な直線である。

したがって、その方向ベクトルは$\vec{OB} - (\vec{OB} \cdot \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|^2}) \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|^2}$.

ここでは $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ なので

$\vec{OB} - (\vec{OB} \cdot \vec{OA}) \vec{OA}$

$=\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{a}$

$=\vec{b} - k\vec{a}$.

従って、$\vec{p} = \vec{OM} + t(\vec{b} - k\vec{a})$

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{a} + t(\vec{b} - k\vec{a})$

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{a} + t\vec{b} - tk\vec{a}$

$\vec{p} = (\frac{1}{2} - tk)\vec{a} + t\vec{b}$.

3. 最終的な答え

(1) 平行な直線: $5x + 4y - 2 = 0$

垂直な直線: $4x - 5y + 23 = 0$

(2) $\vec{p} = (\frac{1}{2} - tk)\vec{a} + t\vec{b}$