2次関数 $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 4x$ を平方完成することで、頂点の座標を求め、最大値を決定します。

まず、$x^2$の係数でくくります。

$y = -(x^2 - 4x)$

次に、括弧の中を平方完成します。$x^2 - 4x$ を $(x - a)^2 + b$ の形に変形することを考えます。

$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$ なので、$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ となります。

したがって、

$y = -((x - 2)^2 - 4)$

$y = -(x - 2)^2 + 4$

この式から、グラフは頂点が $(2, 4)$ の上に凸の放物線であることがわかります。

したがって、$x = 2$ のとき、最大値 $4$ をとります。

3. 最終的な答え

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