2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ において、 $-2 \le x \le 1$ の範囲における最大値が7であるとき、定数$a$の値を求め、その時の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ において、 $-2 \le x \le 1$ の範囲における最大値が7であるとき、定数$a$の値を求め、その時の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x + 2a = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 2a = (x+1)^2 - 1 + 2a$

したがって、頂点の座標は $(-1, -1+2a)$ です。

次に、$x$の定義域 $-2 \le x \le 1$ における最大値を考えます。軸は $x=-1$ なので、定義域の中央に位置します。

$x=1$ のとき、$y = (1+1)^2 - 1 + 2a = 4 - 1 + 2a = 3 + 2a$

$x=-2$ のとき、$y = (-2+1)^2 - 1 + 2a = 1 - 1 + 2a = 2a$

ここで、$x=1$ で最大値をとる場合と、$x=-2$ で最大値をとる場合を考えます。

$x=1$ で最大値をとる場合：

$3+2a = 7$

$2a = 4$

$a = 2$

このとき、$x=-2$ のとき、$y=2a=2(2)=4$

$x=-1$ のとき、$y=-1+2a=-1+2(2)=3$

定義域内で軸$x=-1$が含まれており、下に凸のグラフなので、最小値は$x=-1$のときにとります。

したがって、$a=2$のとき、最小値は$3$となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$ のとき、最小値は $3$ である。