$(x + 2y - 3z)^3$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x + 2y - 3z)^3$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x + 2y - 3z)^3$を展開するために、$A = x$、$B = 2y$、$C = -3z$とおくと、$(A+B+C)^3$を展開することになります。

$(A+B+C)^3$は、以下の公式を用いて展開できます。

$(A+B+C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3(A+B)(B+C)(C+A)$

または、

$(A+B+C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3(A^2B + A^2C + B^2A + B^2C + C^2A + C^2B) + 6ABC$

上記の公式を利用して展開します。

$A = x, B = 2y, C = -3z$ なので、

$A^3 = x^3$

$B^3 = (2y)^3 = 8y^3$

$C^3 = (-3z)^3 = -27z^3$

$A^2B = x^2(2y) = 2x^2y$

$A^2C = x^2(-3z) = -3x^2z$

$B^2A = (2y)^2(x) = 4y^2x = 4xy^2$

$B^2C = (2y)^2(-3z) = 4y^2(-3z) = -12y^2z$

$C^2A = (-3z)^2(x) = 9z^2x = 9xz^2$

$C^2B = (-3z)^2(2y) = 9z^2(2y) = 18yz^2$

$ABC = x(2y)(-3z) = -6xyz$

よって、

$(x+2y-3z)^3 = x^3 + 8y^3 - 27z^3 + 3(2x^2y - 3x^2z + 4xy^2 - 12y^2z + 9xz^2 + 18yz^2) + 6(-6xyz)$

$= x^3 + 8y^3 - 27z^3 + 6x^2y - 9x^2z + 12xy^2 - 36y^2z + 27xz^2 + 54yz^2 - 36xyz$

3. 最終的な答え

$x^3 + 8y^3 - 27z^3 + 6x^2y - 9x^2z + 12xy^2 - 36y^2z + 27xz^2 + 54yz^2 - 36xyz$