第4項が6、第7項が48である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

第4項が6、第7項が48である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ただし、$a$は初項、$r$は公比である。

問題文より、

$a_4 = ar^{4-1} = ar^3 = 6$

$a_7 = ar^{7-1} = ar^6 = 48$

2つの式から$a$と$r$を求める。

$ar^6 = 48$ を $ar^3 = 6$ で割ると、

$\frac{ar^6}{ar^3} = \frac{48}{6}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$ar^3 = 6$ に $r=2$ を代入すると、

$a(2^3) = 6$

$8a = 6$

$a = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

したがって、一般項は

$a_n = \frac{3}{4} \cdot 2^{n-1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2^n}{2} = \frac{3}{8} \cdot 2^n = 3 \cdot 2^{n-3}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-3}$