初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和を求める一般的な方法として、以下の手順を使用します。

ステップ1: 和 $S$ を書き出す。

$S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$

ステップ2: 和 $S$ に公比 $r$ を掛ける。

$rS = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$

ステップ3: ステップ1の式からステップ2の式を引く。

$S - rS = (a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n)$

$S - rS = a - ar^n$

$S(1 - r) = a(1 - r^n)$

ステップ4: $S$ について解く。

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ ただし $r \neq 1$

もし $r=1$ ならば、$S = a + a + a + \dots + a = na$

3. 最終的な答え

$r \neq 1$ のとき、等比数列の和は

$S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$

$r = 1$ のとき、等比数列の和は

$S = na$