初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$ を求める。

1. 問題の内容

初項 $a$, 公比 $r$, 項数 $n$ の等比数列の和 $S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を導出するために、まず $S$ に公比 $r$ を掛けた $rS$ を計算する。

$rS = ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n$

次に、$S$ から $rS$ を引く。

$S - rS = (a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n)$

$S - rS = a - ar^n$

左辺を $S$ でくくり、右辺を $a$ でくくると

$S(1-r) = a(1 - r^n)$

$r \neq 1$ のとき、$1-r$ で両辺を割ると、

$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき、$S = a + a + a + \dots + a = na$

3. 最終的な答え

$r \neq 1$ のとき、$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$r = 1$ のとき、$S = na$