与えられた $x = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ に対して、 (1) $x + \frac{1}{x}$, $x^2 - \frac{1}{x^2}$, $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。 (2) $x$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求め、$a^2 + a$ の値を求めます。さらに、$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ の値を求めます。 (3) $\sqrt{x^2-6x+9} + \sqrt{9x^2+6x+1}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた $x = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}$ に対して、

(1) $x + \frac{1}{x}$, $x^2 - \frac{1}{x^2}$, $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。

(2) $x$ の小数部分を $a$ とするとき、$a$ の値を求め、$a^2 + a$ の値を求めます。さらに、$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}}$ の値を求めます。

(3) $\sqrt{x^2-6x+9} + \sqrt{9x^2+6x+1}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ を有理化します。

$x = \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5+2\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} + \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x - \frac{1}{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - \frac{3-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$x^2 - \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})(x-\frac{1}{x}) = 3\sqrt{5}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$

(2)

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ の整数部分を求めます。$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$5 < 3+\sqrt{5} < 6$ なので、$\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < 3$。つまり、$2.5 < x < 3$ なので、$x$ の整数部分は2です。

$a = x - 2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$a^2 + a = a(a+1) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} (\frac{\sqrt{5}-1}{2} + 1) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} (\frac{\sqrt{5}-1+2}{2}) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} (\frac{\sqrt{5}+1}{2}) = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} = \frac{(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})^2}{(\sqrt{a+1}+\sqrt{a})(\sqrt{a+1}-\sqrt{a})} = \frac{a+1-2\sqrt{a(a+1)}+a}{a+1-a} = 2a+1 - 2\sqrt{a^2+a} = 2(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) + 1 - 2\sqrt{1} = \sqrt{5}-1+1 - 2 = \sqrt{5}-2$

(3)

$\sqrt{x^2-6x+9} + \sqrt{9x^2+6x+1} = \sqrt{(x-3)^2} + \sqrt{(3x+1)^2} = |x-3| + |3x+1|$

$x = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{3+2.236}{2} \approx 2.618$

よって、$x-3 < 0$ なので $|x-3| = 3-x$

$3x+1 > 0$ なので $|3x+1| = 3x+1$

$3-x + 3x+1 = 2x+4 = 2(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) + 4 = 3+\sqrt{5} + 4 = 7+\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 3$, $x^2 - \frac{1}{x^2} = 3\sqrt{5}$, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 47$

(2) $a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$, $a^2 + a = 1$, $\frac{\sqrt{a+1}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a}} = \sqrt{5}-2$

(3) $\sqrt{x^2-6x+9} + \sqrt{9x^2+6x+1} = 7+\sqrt{5}$