複数の数列の和を求める問題です。28番の(1)から(6)までの問題を解きます。

回答します。

1. 問題の内容

複数の数列の和を求める問題です。28番の(1)から(6)までの問題を解きます。

2. 解き方の手順

以下の公式を利用します。

* $\sum_{k=1}^{n} c = nc$ (cは定数)

* $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

* $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

* $\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

それぞれの問題について、まず総和の記号の中身を展開し、上記の公式を用いて計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+3) = 2\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 3 = 2\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 3n = n(n+1)+3n = n^2 + 4n$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2+k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} (k^2-6k+5) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\cdot\frac{n(n+1)}{2} + 5n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3n(n+1) + 5n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 18n(n+1) + 30n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - 18n - 18 + 30)}{6} = \frac{n(2n^2 - 15n + 13)}{6}$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (k^3-4k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - 4\sum_{k=1}^{n} k = (\frac{n(n+1)}{2})^2 - 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - 2n(n+1) = \frac{n^2(n+1)^2 - 8n(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)(n(n+1) - 8)}{4} = \frac{n(n+1)(n^2+n-8)}{4}$

(5) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) - 12n}{6} = \frac{n(2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 - 12)}{6} = \frac{n(2n^2 - 14)}{6} = \frac{n(n^2 - 7)}{3}$

(6) $\sum_{k=1}^{n-1} (k^2-5k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} - 5\cdot\frac{(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{5(n-1)n}{2} = \frac{(n-1)n(2n-1 - 15)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-16)}{6} = \frac{(n-1)n(n-8)}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 + 4n$

(2) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(3) $\frac{n(2n^2 - 15n + 13)}{6}$

(4) $\frac{n(n+1)(n^2+n-8)}{4}$

(5) $\frac{n(n^2 - 7)}{3}$

(6) $\frac{(n-1)n(n-8)}{3}$