$1 \le x \le 5$ における一次関数 $y = ax + 7$ の最小値が $-1$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 5$ における一次関数 $y = ax + 7$ の最小値が $-1$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

2. 解き方の手順

一次関数 $y = ax + 7$ において、$a < 0$ であるから、この関数は減少関数である。したがって、$1 \le x \le 5$ の範囲において、$x = 5$ のときに最小値をとる。

よって、$x = 5$ のとき、$y = -1$ であるから、

$-1 = 5a + 7$

$5a = -8$

$a = -\frac{8}{5}$

これは $a < 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{8}{5}$