初項が8、公比が0.6の等比数列 $\{a_i\}$ (i = 1, 2, ...) について、以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$ を示せ。 (2) $\sum_{i=1}^2 a_i$ を求めよ。 (3) $\sum_{i=1}^\infty a_i$ を求めよ。

1. 問題の内容

初項が8、公比が0.6の等比数列 $\{a_i\}$ (i = 1, 2, ...) について、以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$ を示せ。

(2) $\sum_{i=1}^2 a_i$ を求めよ。

(3) $\sum_{i=1}^\infty a_i$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は、初項を $a$、公比を $r$ とすると $a_n = a r^{n-1}$ で表される。この問題では、初項 $a = 8$、公比 $r = 0.6$ であるから、一般項 $a_n$ は $a_n = 8 \times (0.6)^{n-1}$ となる。

(2) $\sum_{i=1}^2 a_i = a_1 + a_2$ である。$a_1 = 8 \times (0.6)^{1-1} = 8 \times (0.6)^0 = 8 \times 1 = 8$、$a_2 = 8 \times (0.6)^{2-1} = 8 \times 0.6 = 4.8$ であるから、$\sum_{i=1}^2 a_i = 8 + 4.8 = 12.8$ となる。

(3) 無限等比級数の和は、初項を $a$、公比を $r$ とすると、 $|r| < 1$ のとき $\sum_{i=1}^\infty a_i = \frac{a}{1-r}$ で表される。この問題では、$a = 8$、$r = 0.6$ であり、$|0.6| < 1$ であるから、無限等比級数の和は $\sum_{i=1}^\infty a_i = \frac{8}{1 - 0.6} = \frac{8}{0.4} = \frac{8}{\frac{4}{10}} = 8 \times \frac{10}{4} = 2 \times 10 = 20$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 8 \times (0.6)^{n-1}$

(2) $\sum_{i=1}^2 a_i = 12.8$

(3) $\sum_{i=1}^\infty a_i = 20$