(1) $(x+2)^{10}$ を展開したときの $x^6$ の係数を求めよ。 (2) $(x-1)^{11}$ を展開したときの $x^8$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(x+2)^{10}$ を展開したときの $x^6$ の係数を求めよ。

(2) $(x-1)^{11}$ を展開したときの $x^8$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いる。$(x+2)^{10}$ の展開における一般項は

${}_{10}C_r x^r 2^{10-r}$ で表される。$x^6$ の係数を求めたいので、$r=6$ のときを考える。

$x^6$ の項は ${}_{10}C_6 x^6 2^{10-6} = {}_{10}C_6 x^6 2^4$ となる。

${}_{10}C_6 = {}_{10}C_4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$ である。

$2^4 = 16$ であるから、$x^6$ の係数は $210 \times 16 = 3360$ である。

(2) 二項定理を用いる。$(x-1)^{11}$ の展開における一般項は ${}_{11}C_r x^r (-1)^{11-r}$ で表される。$x^8$ の係数を求めたいので、$r=8$ のときを考える。

$x^8$ の項は ${}_{11}C_8 x^8 (-1)^{11-8} = {}_{11}C_8 x^8 (-1)^3$ となる。

${}_{11}C_8 = {}_{11}C_3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$ である。

$(-1)^3 = -1$ であるから、$x^8$ の係数は $165 \times (-1) = -165$ である。

3. 最終的な答え

(1) 3360

(2) -165