$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ の分母を有理化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

分母は $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ の形になるので、

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5}$

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$