点A, B, Dが同一水平面上にあり、$\angle CAD = 60^\circ$, $\angle DAB = 75^\circ$, $\angle DBA = 60^\circ$, $AB = 10m$であるとき、以下の値を求めます。 (1) $\angle ADB$ (2) 距離 $AD$ (3) 滝の高さ $CD$

1. 問題の内容

点A, B, Dが同一水平面上にあり、$\angle CAD = 60^\circ$, $\angle DAB = 75^\circ$, $\angle DBA = 60^\circ$, $AB = 10m$であるとき、以下の値を求めます。

(1) $\angle ADB$

(2) 距離 $AD$

(3) 滝の高さ $CD$

2. 解き方の手順

(1) $\angle ADB$ を求める。

まず、$\triangle ABD$の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle BAD = \angle DAB = 75^\circ$, $\angle DBA = 60^\circ$ より、

$\angle ADB = 180^\circ - \angle BAD - \angle DBA = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

(2) 距離 $AD$ を求める。

$\triangle ABD$において、正弦定理を用いると、

$\frac{AD}{\sin \angle DBA} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$

$\frac{AD}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 45^\circ}$

$AD = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$

(3) 滝の高さ $CD$ を求める。

$\angle CAD = 60^\circ$であり、$\triangle ADC$は直角三角形であるから、$\tan \angle CAD = \frac{CD}{AD}$。よって、

$CD = AD \tan \angle CAD = 5\sqrt{6} \tan 60^\circ = 5\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{18} = 5 \cdot 3\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle ADB = 45^\circ$

(2) $AD = 5\sqrt{6} \ m$

(3) $CD = 15\sqrt{2} \ m$