振幅が同じだが角振動数が異なる2つの調和振動 $x_1 = A \cos(\omega_1 t)$ と $x_2 = A \cos(\omega_2 t)$ を考える。 (a) 2つの振動の合成を示せ。 (b) $\omega_1$ と $\omega_2$ が近い値のとき、その合成振動が $(\omega_1 + \omega_2)/2$ を角振動数とする調和振動の振幅が、$(\omega_1 - \omega_2)/2$ の角振動数でゆっくりと変調された形になっていることを論じよ。 (c) $\omega_1 = 10\pi$, $\omega_2 = 8\pi$ のときの合成振動の様子を図示せよ。

1. 問題の内容

振幅が同じだが角振動数が異なる2つの調和振動 $x_1 = A \cos(\omega_1 t)$ と $x_2 = A \cos(\omega_2 t)$ を考える。

(a) 2つの振動の合成を示せ。

(b) $\omega_1$ と $\omega_2$ が近い値のとき、その合成振動が $(\omega_1 + \omega_2)/2$ を角振動数とする調和振動の振幅が、$(\omega_1 - \omega_2)/2$ の角振動数でゆっくりと変調された形になっていることを論じよ。

(c) $\omega_1 = 10\pi$, $\omega_2 = 8\pi$ のときの合成振動の様子を図示せよ。

2. 解き方の手順

(a) 2つの振動の合成を求める。

$x = x_1 + x_2 = A \cos(\omega_1 t) + A \cos(\omega_2 t)$

三角関数の和積公式 $\cos a + \cos b = 2 \cos\left(\frac{a+b}{2}\right) \cos\left(\frac{a-b}{2}\right)$ を用いると、

$x = 2A \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$

(b) $\omega_1$ と $\omega_2$ が近いとき、$\left| \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \right| << \left| \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \right|$ となる。

したがって、

$x = 2A \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$

において、$\cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right)$ が速い振動を表し、$2A \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$ が振幅がゆっくりと時間変化する様子を表している。つまり、角振動数 $(\omega_1 + \omega_2)/2$ の振動が、角振動数 $(\omega_1 - \omega_2)/2$ でゆっくりと変調された形になっている。

(c) $\omega_1 = 10\pi$, $\omega_2 = 8\pi$ のとき、

$x = 2A \cos\left(\frac{10\pi + 8\pi}{2} t\right) \cos\left(\frac{10\pi - 8\pi}{2} t\right) = 2A \cos(9\pi t) \cos(\pi t)$

このグラフは、角振動数 $9\pi$ の振動が、角振動数 $\pi$ で振幅変調されている様子を表している。すなわち、振幅が $2A\cos(\pi t)$ で変化する、角振動数 $9\pi$ の振動となる。$2A\cos(\pi t)$ の絶対値が振幅を表すエンベロープとなる。

3. 最終的な答え

(a) $x = 2A \cos\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$

(b) 振幅 $2A \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)$ は、角振動数 $\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}$ でゆっくりと変調される。

(c) $x = 2A \cos(9\pi t) \cos(\pi t)$ 。（グラフは省略）