二つの問題があります。 (1) $(-3a^2c^5)^4 \times (\frac{1}{9}ab^3)^2 \times 2ac = \boxed{1}a^{\boxed{2}\boxed{3}}b^{\boxed{4}}c^{\boxed{5}\boxed{6}}$ の $\boxed{1}$ から $\boxed{6}$ に当てはまる数を求める問題です。 (2) $|3-2\sqrt{2}| - |\sqrt{2}-2| = \boxed{7}$ の $\boxed{7}$ に当てはまる数を、選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

二つの問題があります。

(1) $(-3a^2c^5)^4 \times (\frac{1}{9}ab^3)^2 \times 2ac = \boxed{1}a^{\boxed{2}\boxed{3}}b^{\boxed{4}}c^{\boxed{5}\boxed{6}}$ の $\boxed{1}$ から $\boxed{6}$ に当てはまる数を求める問題です。

(2) $|3-2\sqrt{2}| - |\sqrt{2}-2| = \boxed{7}$ の $\boxed{7}$ に当てはまる数を、選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $(-3a^2c^5)^4 \times (\frac{1}{9}ab^3)^2 \times 2ac$ を計算します。

まず、各項を計算します。

$(-3a^2c^5)^4 = (-3)^4 (a^2)^4 (c^5)^4 = 81 a^8 c^{20}$

$(\frac{1}{9}ab^3)^2 = (\frac{1}{9})^2 a^2 (b^3)^2 = \frac{1}{81} a^2 b^6$

したがって、

$(-3a^2c^5)^4 \times (\frac{1}{9}ab^3)^2 \times 2ac = 81 a^8 c^{20} \times \frac{1}{81} a^2 b^6 \times 2ac = a^8 c^{20} \times a^2 b^6 \times 2ac = 2a^{8+2+1} b^6 c^{20+1} = 2a^{11}b^6c^{21}$

よって、$\boxed{1}=2$, $\boxed{2}\boxed{3}=11$, $\boxed{4}=6$, $\boxed{5}\boxed{6}=21$ となります。

(2) $|3-2\sqrt{2}| - |\sqrt{2}-2|$ を計算します。

$3-2\sqrt{2}$ の符号を調べます。$3 = \sqrt{9}$ であり、$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であるので、$3-2\sqrt{2}>0$ となります。したがって、$|3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$ となります。

$\sqrt{2}-2$ の符号を調べます。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$\sqrt{2}-2<0$ となります。したがって、$|\sqrt{2}-2| = -(\sqrt{2}-2) = 2-\sqrt{2}$ となります。

よって、$|3-2\sqrt{2}| - |\sqrt{2}-2| = (3-2\sqrt{2}) - (2-\sqrt{2}) = 3-2\sqrt{2} - 2 + \sqrt{2} = 1 - \sqrt{2}$ となります。

選択肢の中で、$1-\sqrt{2}$ は ③ なので、これが答えとなります。

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{1}=2$, $\boxed{2}\boxed{3}=11$, $\boxed{4}=6$, $\boxed{5}\boxed{6}=21$

(2) ③