一辺の長さが $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の気体分子が $N$ 個入っている。気体分子の運動に関する問題で、いくつかの空欄を埋める。

1. 問題の内容

一辺の長さが $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の気体分子が $N$ 個入っている。気体分子の運動に関する問題で、いくつかの空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) 分子が壁面Aにx方向の速度成分 $v_x$ で弾性衝突したとき、運動量変化は $-mv_x - mv_x = -2mv_x$ なので、アは $-2mv_x$ である。壁に与える力積はその反作用なので、イは $2mv_x$ である。

分子は時間 $\frac{2L}{v_x}$ の間に壁面Aと衝突するので、ウは $\frac{2L}{v_x}$ である。

平均の力の大きさ $f$ は $f = \frac{2mv_x}{\frac{2L}{v_x}} = \frac{mv_x^2}{L}$ なので、エは $\frac{mv_x^2}{L}$ である。

(2) 全分子の速度の二乗の平均は $\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$ である。等方性より $\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$ なので、$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$ である。

N個の分子が壁面Aに与える力は $F = N \cdot \frac{m\overline{v_x^2}}{L} = N \cdot \frac{m\overline{v^2}}{3L}$ なので、オは $\frac{Nm\overline{v^2}}{3L}$ である。

壁面Aにはたらく圧力は $p = \frac{F}{L^2} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3} = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ なので、力は $\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ である。

(3) 状態方程式 $pV = nRT$ と $p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$ を比較すると、$\frac{Nm\overline{v^2}}{3V} \cdot V = nRT$ となる。

$N = nN_A$ であるから、$\frac{nN_Am\overline{v^2}}{3} = nRT$ となる。よって、分子1個の平均運動エネルギー $E = \frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}\frac{R}{N_A}T = \frac{3}{2}kT$ である。

ここで $k = \frac{R}{N_A}$ はボルツマン定数である。したがって、キは $\frac{3}{2}kT$ である。

$N_A m = M$ (分子量) であるから、$\frac{1}{2}M\overline{v^2} = \frac{3}{2}RT$ より、$\overline{v^2} = \frac{3RT}{M}$。

したがって、分子の二乗平均速度は $\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ なので、クは $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ である。

3. 最終的な答え

ア: $-2mv_x$

イ: $2mv_x$

ウ: $\frac{2L}{v_x}$

エ: $\frac{mv_x^2}{L}$

オ: $\frac{Nm\overline{v^2}}{3L}$

力: $\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$

キ: $\frac{3}{2}kT$

ク: $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$