第2項が12、初項から第3項までの和が63である等比数列$\{a_n\}$の第4項を求める。ただし、公比$r$が1の場合と$\frac{5}{6}$の場合について答える。

1. 問題の内容

第2項が12、初項から第3項までの和が63である等比数列$\{a_n\}$の第4項を求める。ただし、公比$r$が1の場合と$\frac{5}{6}$の場合について答える。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とする。

第2項が12であることから、

$ar = 12$ ...(1)

初項から第3項までの和が63であることから、

$a + ar + ar^2 = 63$ ...(2)

(1)より、$a = \frac{12}{r}$

これを(2)に代入すると、

$\frac{12}{r} + 12 + 12r = 63$

$12 + 12r + 12r^2 = 63r$

$12r^2 - 51r + 12 = 0$

$4r^2 - 17r + 4 = 0$

$(4r - 1)(r - 4) = 0$

よって、$r = \frac{1}{4}, 4$

(i) $r = 1$のとき：　問題文に公比$r=1$のときとあるが、このとき$ar = 12$より$a=12$。

初項から第3項の和は$12+12+12=36$となり、63にならないので$r=1$は条件を満たさない。ただし、問題文に従い、公比が1のときを考える。第4項は$ar^3 = 12 \cdot 1^3 = 12$。

(ii) $r = \frac{5}{6}$のとき：　$ar=12$より、$a \cdot \frac{5}{6} = 12$。　したがって、$a = \frac{72}{5}$

第4項は$ar^3 = \frac{72}{5} \cdot (\frac{5}{6})^3 = \frac{72}{5} \cdot \frac{125}{216} = \frac{72}{216} \cdot \frac{125}{5} = \frac{1}{3} \cdot 25 = \frac{25}{3}$

3. 最終的な答え

公比 $r = 1$のとき、第4項は 12

公比 $r = \frac{5}{6}$のとき、第4項は $\frac{25}{3}$