碁石を正三角形の形に並べる。1番目は一辺が2個、2番目は一辺が3個、3番目は一辺が4個となるように、規則的に碁石を並べていく。50番目の正三角形には何個の碁石が必要になるか。

1. 問題の内容

碁石を正三角形の形に並べる。1番目は一辺が2個、2番目は一辺が3個、3番目は一辺が4個となるように、規則的に碁石を並べていく。50番目の正三角形には何個の碁石が必要になるか。

2. 解き方の手順

n番目の正三角形の一辺の碁石の数は $n+1$ 個である。

一辺の長さが $k$ 個の正三角形に含まれる碁石の総数は、1から $k$ までの和で求められる。

すなわち、碁石の総数は $1+2+3+...+k = \frac{k(k+1)}{2}$ で表される。

n番目の正三角形の一辺の碁石の数は $n+1$ なので、$k=n+1$ を代入する。

n番目の正三角形に含まれる碁石の総数は、

$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ となる。

50番目の正三角形に必要な碁石の数は、n=50 を代入して、

$\frac{(50+1)(50+2)}{2} = \frac{51 \times 52}{2} = 51 \times 26 = 1326$ 個となる。

ただし、与えられた選択肢に1326がないため、問題文の解釈が間違っている可能性がある。

画像にある図より、n番目の三角形の一辺の碁石の数がn+1個である。

したがって、必要な碁石の総数は、一辺に並ぶ碁石の数の二乗に比例すると考えられる。

1番目：$2*（2+1）/2=3$

2番目：$3*（3+1）/2=6$

3番目：$4*（4+1）/2=10$

n番目の場合：$(n+1)*(n+2)/2$

したがって、50番目の場合：$(50+1)*(50+2)/2=51*52/2=51*26=1326$

碁石の数の数列を調べると、3,6,10,... という数列になっている。

階差数列を調べると、3,4,... となっている。

したがって、n番目の碁石の数は、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+2) = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 2 = 3 + \frac{(n-1)n}{2} + 2(n-1) = 3 + \frac{n^2 - n}{2} + 2n - 2 = 1 + \frac{n^2 - n + 4n}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

50番目の碁石の数は、$a_{50} = \frac{(50+1)(50+2)}{2} = \frac{51 \times 52}{2} = 51 \times 26 = 1326$ となる。

しかし、選択肢に1326がないため、問題文または選択肢に誤りがあると考えられる。

もう一度、与えられた選択肢に近いものがないか確認する。

選択肢として、105, 120, 135, 150, 165, 180 がある。

$a_n = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ という式に基づいて考えると、

105に近い値を取るnを探す：$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 105 \implies (n+1)(n+2) = 210$。 $13 * 14 = 182$, $14 * 15 = 210$なので $n=13$

120に近い値を取るnを探す：$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 120 \implies (n+1)(n+2) = 240$。 $14 * 15 = 210$, $15 * 16 = 240$なので $n=14$

135に近い値を取るnを探す：$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 135 \implies (n+1)(n+2) = 270$。 $15 * 16 = 240$, $16 * 17 = 272$なので $n=15$

150に近い値を取るnを探す：$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = 150 \implies (n+1)(n+2) = 300$。 $16 * 17 = 272$, $17 * 18 = 306$なので $n=16$

問題文がおかしいと考えられる。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、正解は存在しない。ただし、計算上は1326個が正しい。選択肢の中で最も近いのは135個。