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与えられた数式を展開する問題です。 1. $(6+2S)^3$

代数学展開二項定理多項式
2025/4/12

1. 問題の内容

与えられた数式を展開する問題です。

1. $(6+2S)^3$

2. $(3a-b)^3$

2. 解き方の手順

(1) (6+2S)3(6+2S)^3 の展開
二項定理または (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 を利用します。
a=6,b=2Sa = 6, b = 2S とすると、
(6+2S)3=63+3⋅62⋅2S+3⋅6⋅(2S)2+(2S)3(6+2S)^3 = 6^3 + 3 \cdot 6^2 \cdot 2S + 3 \cdot 6 \cdot (2S)^2 + (2S)^3
=216+3⋅36⋅2S+3⋅6⋅4S2+8S3= 216 + 3 \cdot 36 \cdot 2S + 3 \cdot 6 \cdot 4S^2 + 8S^3
=216+216S+72S2+8S3= 216 + 216S + 72S^2 + 8S^3
(2) (3a−b)3(3a-b)^3 の展開
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 を利用します。
a=3a,b=ba = 3a, b = b とすると、
(3a−b)3=(3a)3−3⋅(3a)2⋅b+3⋅(3a)⋅b2−b3(3a-b)^3 = (3a)^3 - 3 \cdot (3a)^2 \cdot b + 3 \cdot (3a) \cdot b^2 - b^3
=27a3−3⋅9a2⋅b+9ab2−b3= 27a^3 - 3 \cdot 9a^2 \cdot b + 9ab^2 - b^3
=27a3−27a2b+9ab2−b3= 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3

3. 最終的な答え

1. $(6+2S)^3 = 8S^3 + 72S^2 + 216S + 216$

2. $(3a-b)^3 = 27a^3 - 27a^2b + 9ab^2 - b^3$

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