関数 $f(x)=2|x+1|-|x-3|$ が与えられている。(1)では、xの範囲によって $f(x)$ を簡単にし、(2)では $f(x)=8$ を満たすxを求め、(3)では $x \geq 0$ のときの $f(x)$ の最大値・最小値の存在について、(4)では方程式 $f(x)=k$ が $-5 \leq x < 4$ の範囲で解を持つような $k$ の範囲、および解を持たないような $k$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)=2|x+1|-|x-3|$ が与えられている。(1)では、xの範囲によって $f(x)$ を簡単にし、(2)では $f(x)=8$ を満たすxを求め、(3)では $x \geq 0$ のときの $f(x)$ の最大値・最小値の存在について、(4)では方程式 $f(x)=k$ が $-5 \leq x < 4$ の範囲で解を持つような $k$ の範囲、および解を持たないような $k$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

- $x < -1$ のとき、$x+1<0$ かつ $x-3<0$ より、 $|x+1| = -(x+1)$、$|x-3|=-(x-3)$ である。したがって、

$f(x) = 2(-(x+1)) - (-(x-3)) = -2x-2+x-3 = -x-5$

よって、アの解答は③。

- $-1 \leq x < 3$ のとき、$x+1 \geq 0$ かつ $x-3<0$ より、 $|x+1| = x+1$、$|x-3|=-(x-3)$ である。したがって、

$f(x) = 2(x+1) - (-(x-3)) = 2x+2+x-3 = 3x-1$

よって、イの解答は⑤。

- $3 \leq x$ のとき、$x+1>0$ かつ $x-3 \geq 0$ より、 $|x+1| = x+1$、$|x-3|=x-3$ である。したがって、

$f(x) = 2(x+1) - (x-3) = 2x+2-x+3 = x+5$

よって、ウの解答は⓪。

(2)

- $x < -1$ のとき、$f(x) = -x-5 = 8$ より、$x = -13$。これは $x < -1$ を満たす。

- $-1 \leq x < 3$ のとき、$f(x) = 3x-1 = 8$ より、$x = 3$。これは $-1 \leq x < 3$ を満たさない。

- $3 \leq x$ のとき、$f(x) = x+5 = 8$ より、$x = 3$。これは $3 \leq x$ を満たす。

したがって、$f(x)=8$の解は $x = -13, 3$ である。よって、エオカ = -13、キ = 3。

(3)

- $x \geq 0$ のとき、$f(x)$ は、$-1 \leq x < 3$ の範囲では、$f(x) = 3x-1$。この範囲で $x \geq 0$ なので、$0 \leq x < 3$ のとき、$-1 \leq f(x) < 8$。

$3 \leq x$ の範囲では、$f(x) = x+5$。この範囲で、$8 \leq f(x)$。

したがって、x=0で $f(0) = 3(0)-1=-1$ であり、 $x \geq 0$ において、 $f(x) \geq -1$ なので最小値は存在する。また、$x \geq 3$ において、$f(x) = x+5$ はいくらでも大きくなるので、最大値は存在しない。

よって、クの解答は②。

(4)

$y=f(x)$ のグラフを描き、 $-5 \leq x < 4$ における $f(x)$ の値域を考える。

$x < -1$ のとき、$f(x) = -x-5$。 $-5 \leq x < -1$ なので、$-4 < f(x) \leq 0$。

$-1 \leq x < 3$ のとき、$f(x) = 3x-1$。 $-1 \leq x < 3$ なので、$-4 \leq f(x) < 8$。

$3 \leq x < 4$ のとき、$f(x) = x+5$。 $3 \leq x < 4$ なので、$8 \leq f(x) < 9$。

したがって、$-5 \leq x < 4$ における $f(x)$ の値域は $-4 \leq f(x) < 9$。

方程式 $f(x) = k$ が $-5 \leq x < 4$ を満たす解を持つのは、$-4 \leq k < 9$ のときである。よって、ケコ=-4, サ=1, シ=0, ス=9。

また、方程式 $f(x) = k$ が解を持たないのは、$k < -4$ または $k \geq 9$ のときである。よって、$k < -4$ または $9 \leq k$。したがって、セ=0, ソタ=9。

3. 最終的な答え

(1) ア: ③, イ: ⑤, ウ: ⓪

(2) エオカ: -13, キ: 3

(3) ク: ②

(4) ケコ: -4, サ: 1, シ: 0, ス: 9, セ: 0, ソタ: 9