$(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求める。

1. 問題の内容

$(x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の項の係数を求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて$(x-2y)^5$を展開する。二項定理より、

$$(x-2y)^5 = \sum_{k=0}^5 \binom{5}{k} x^{5-k} (-2y)^k$$

$x^2y^3$ の項を探すので、$k=3$の場合を考える。

$k=3$のとき、

$$\binom{5}{3}x^{5-3}(-2y)^3 = \binom{5}{3}x^2(-2)^3y^3 = \binom{5}{3}(-8)x^2y^3$$

ここで、二項係数$\binom{5}{3}$は

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10$$

したがって、$x^2y^3$の項は

$$10\times(-8)x^2y^3 = -80x^2y^3$$

よって、$x^2y^3$の係数は-80となる。

3. 最終的な答え

-80