問題は、複素数 $a+bi$ と $c+di$ の積が 0 であるとき、 $a=b=0$ または $c=d=0$ が成り立つことを証明することです。

1. 問題の内容

問題は、複素数 $a+bi$ と $c+di$ の積が 0 であるとき、 $a=b=0$ または $c=d=0$ が成り立つことを証明することです。

2. 解き方の手順

まず、$(a+bi)(c+di)$ を展開します。

$(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

$(a+bi)(c+di) = 0$ は、実部と虚部がともに0になることを意味します。したがって、

$ac - bd = 0$ ...(1)

$ad + bc = 0$ ...(2)

(1)と(2)を満たす条件が $a=b=0$ または $c=d=0$ であることを示します。

(1)より $ac = bd$

(2)より $ad = -bc$

ここで、$a=b=0$ の場合、明らかに$(a+bi)(c+di) = 0$ は成立します。また、$c=d=0$ の場合も、$(a+bi)(c+di) = 0$ は成立します。

次に、$a,b,c,d$ のいずれも0でないと仮定します。

このとき、(1)と(2)を2乗して足し合わせると、

$(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 = (bd)^2 + (-bc)^2$

$a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = b^2d^2 + b^2c^2$

$a^2c^2 + a^2d^2 = 0$

$a^2(c^2 + d^2) = 0$

$a \neq 0$ であるため、$c^2 + d^2 = 0$ となります。 $c,d$は実数なので、$c=0$ かつ $d=0$でなければなりません。

同様に、$c$と$d$が0でないと仮定すると、(1)と(2)を2乗して足し合わせると、

$(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 = (bd)^2 + (-bc)^2$

$c^2(a^2 + b^2) = 0$

$c \neq 0$ であるため、$a^2 + b^2 = 0$ となります。 $a,b$は実数なので、$a=0$ かつ $b=0$でなければなりません。

したがって、$a=b=0$ または $c=d=0$ が成立します。

3. 最終的な答え

$(a+bi)(c+di) = 0 \Leftrightarrow a=b=0$ または $c=d=0$