与えられた2つの式が等しいかどうかを判断する問題です。 最初の式は $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2 + 10n + 1)}{32 \cdot 5^n}$ であり、 2番目の式は $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2 + 20n + 15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた2つの式が等しいかどうかを判断する問題です。

最初の式は $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2 + 10n + 1)}{32 \cdot 5^n}$ であり、

2番目の式は $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2 + 20n + 15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$ です。

2. 解き方の手順

最初の式を計算します。

$\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2 + 10n + 1)}{32 \cdot 5^n} = \frac{125}{32} - \frac{60n^2 + 150n + 15}{32 \cdot 5^n}$

次に、2番目の式を計算します。

$\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2 + 20n + 15)}{32 \cdot 5^{n-1}} = \frac{225}{32} - \frac{24n^2 + 60n + 45}{32 \cdot 5^{n-1}}$

ここで、 $5^{n-1} = \frac{5^n}{5}$ なので、

$\frac{225}{32} - \frac{24n^2 + 60n + 45}{32 \cdot \frac{5^n}{5}} = \frac{225}{32} - \frac{5(24n^2 + 60n + 45)}{32 \cdot 5^n} = \frac{225}{32} - \frac{120n^2 + 300n + 225}{32 \cdot 5^n}$

ここで最初の式と二番目の式の差を計算します。

$\frac{125}{32} - \frac{60n^2 + 150n + 15}{32 \cdot 5^n} - \left( \frac{225}{32} - \frac{120n^2 + 300n + 225}{32 \cdot 5^n} \right) = \frac{125 - 225}{32} - \frac{60n^2 + 150n + 15 - (120n^2 + 300n + 225)}{32 \cdot 5^n} = -\frac{100}{32} - \frac{-60n^2 - 150n - 210}{32 \cdot 5^n} = -\frac{100}{32} + \frac{60n^2 + 150n + 210}{32 \cdot 5^n}$

もし $n=1$ なら、最初の式は $\frac{125}{32} - \frac{15(4 + 10 + 1)}{32 \cdot 5} = \frac{125}{32} - \frac{15 \cdot 15}{160} = \frac{125}{32} - \frac{225}{160} = \frac{625 - 225}{160} = \frac{400}{160} = \frac{5}{2}$

二番目の式は $\frac{225}{32} - \frac{3(8 + 20 + 15)}{32 \cdot 5^0} = \frac{225}{32} - \frac{3 \cdot 43}{32} = \frac{225 - 129}{32} = \frac{96}{32} = 3$

二つの式は等しくないので、一般的に異なる。

3. 最終的な答え

等しくない