与えられた2つの式が等しいかどうかを判断する問題です。 式は以下の通りです。 式1: $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+1)}{32 \cdot 5^n}$ 式2: $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式が等しいかどうかを判断する問題です。

式は以下の通りです。

式1: $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+1)}{32 \cdot 5^n}$

式2: $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$

2. 解き方の手順

まず、式1と式2をそれぞれ整理します。

式1を整理します。

$\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+1)}{32 \cdot 5^n} = \frac{125}{32} - \frac{60n^2+150n+15}{32 \cdot 5^n}$

次に、式2を整理します。

$\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}} = \frac{225}{32} - \frac{24n^2+60n+45}{32 \cdot 5^{n-1}}$

式2の分母の $5^{n-1}$ を $5^n$ にするために、分子と分母に5を掛けます。

$\frac{225}{32} - \frac{5(24n^2+60n+45)}{32 \cdot 5^n} = \frac{225}{32} - \frac{120n^2+300n+225}{32 \cdot 5^n}$

式1と式2の差を計算します。

$\frac{125}{32} - \frac{60n^2+150n+15}{32 \cdot 5^n} - \left( \frac{225}{32} - \frac{120n^2+300n+225}{32 \cdot 5^n} \right)$

$=\frac{125-225}{32} + \frac{120n^2+300n+225 - (60n^2+150n+15)}{32 \cdot 5^n}$

$=\frac{-100}{32} + \frac{60n^2+150n+210}{32 \cdot 5^n}$

$=\frac{-100}{32} + \frac{60n^2+150n+210}{32 \cdot 5^n}$

$=\frac{-100 \cdot 5^n + 60n^2+150n+210}{32 \cdot 5^n}$

この式が常に0になるかどうかを判断します。一般的には0になりません。

例えば、$n=0$の時

$\frac{-100 + 210}{32} = \frac{110}{32} \neq 0$

3. 最終的な答え

式1と式2は等しくありません。