与えられた2つの式が等しいかどうかを判定する問題です。与えられた2つの式は以下の通りです。 式1: $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+21)}{32 \cdot 5^n}$ 式2: $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式が等しいかどうかを判定する問題です。与えられた2つの式は以下の通りです。

式1: $\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+21)}{32 \cdot 5^n}$

式2: $\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}}$

2. 解き方の手順

式1と式2をそれぞれ整理し、比較します。

式1:

$\frac{125}{32} - \frac{15(4n^2+10n+21)}{32 \cdot 5^n} = \frac{125}{32} - \frac{60n^2+150n+315}{32 \cdot 5^n}$

式2:

$\frac{225}{32} - \frac{3(8n^2+20n+15)}{32 \cdot 5^{n-1}} = \frac{225}{32} - \frac{24n^2+60n+45}{32 \cdot 5^{n-1}}$

$= \frac{225}{32} - \frac{5(24n^2+60n+45)}{32 \cdot 5^{n}} = \frac{225}{32} - \frac{120n^2+300n+225}{32 \cdot 5^n}$

式2から式1を引いてみます。

$\frac{225}{32} - \frac{120n^2+300n+225}{32 \cdot 5^n} - \left( \frac{125}{32} - \frac{60n^2+150n+315}{32 \cdot 5^n} \right)$

$= \frac{225-125}{32} - \frac{120n^2+300n+225 - (60n^2+150n+315)}{32 \cdot 5^n}$

$= \frac{100}{32} - \frac{60n^2+150n-90}{32 \cdot 5^n}$

$= \frac{100 \cdot 5^n - (60n^2+150n-90)}{32 \cdot 5^n}$

$= \frac{10(10 \cdot 5^n - (6n^2+15n-9))}{32 \cdot 5^n}$

$n=1$のとき、

$\frac{125}{32} - \frac{15(4+10+21)}{32 \cdot 5} = \frac{125}{32} - \frac{15(35)}{160} = \frac{125}{32} - \frac{525}{160} = \frac{625 - 525}{160} = \frac{100}{160} = \frac{5}{8}$

$\frac{225}{32} - \frac{3(8+20+15)}{32} = \frac{225}{32} - \frac{3(43)}{32} = \frac{225-129}{32} = \frac{96}{32} = 3$

$n=1$のとき式1と式2は等しくありません。

3. 最終的な答え

式1と式2は同じではありません。