地点Aと地点Bを結ぶ道がある。PはAからBへ、QはBからAへ向かって同時に出発した。出発して2時間30分後に、2人は地点Bから20kmの地点ですれ違った。PがBに到着してから3時間45分後にQがAに到着した。AとBの間の距離を求めよ。

1. 問題の内容

地点Aと地点Bを結ぶ道がある。PはAからBへ、QはBからAへ向かって同時に出発した。出発して2時間30分後に、2人は地点Bから20kmの地点ですれ違った。PがBに到着してから3時間45分後にQがAに到着した。AとBの間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Pの速度を $v_P$、Qの速度を $v_Q$、AとBの間の距離を $d$ とする。

2時間30分（2.5時間）後、PとQはすれ違うので、その時点でのPの移動距離は $d - 20$ km、Qの移動距離は $20$ kmである。

したがって、以下の式が成り立つ。

$2.5v_P = d - 20$

$2.5v_Q = 20$

これから、$v_Q = \frac{20}{2.5} = 8$ km/時 である。

次に、PがBに到着するまでの時間を $t_P$ とすると、$d = v_P t_P$ が成り立つ。

PがBに到着してから3時間45分（3.75時間）後にQがAに到着するので、$3.75v_Q = d - v_Q t_P$ が成り立つ。

$3.75 \times 8 = 30$ なので、$d - v_Q t_P = 30$ が成り立つ。

また、$v_Q t_P$ はPがBに到着するまでにQが進んだ距離なので、$v_Q t_P = d - v_P(2.5)$

問題文より、 PがB地点に到着してから3.75時間後にQがA地点に到着しているから、

$d = 2.5v_P + 2.5v_Q$

$3.75v_Q = d - 20$

$t_P = d/v_P$

$t_Q = d/v_Q$

$t_P = 2.5v_Q$

$t_P$を求める。

$d = v_P t_P$,

$3.75v_Q = d - v_Q t_P$.

$v_Q = 8$ なので、$3.75*8 = 30 = d - 8 t_P$.

$d = 30 + 8 t_P$.

$2.5 v_P = d - 20 = 30 + 8 t_P - 20 = 10 + 8 t_P$.

$v_P = \frac{10 + 8 t_P}{2.5} = 4 + \frac{8}{2.5} t_P = 4 + 3.2 t_P$.

$d = v_P t_P = (4 + 3.2 t_P) t_P = 4 t_P + 3.2 t_P^2$.

$d = 30 + 8t_P$ と $d = 4t_P + 3.2 t_P^2$ より、$30 + 8t_P = 4t_P + 3.2 t_P^2$.

$3.2 t_P^2 - 4t_P - 30 = 0$。

$16 t_P^2 - 20 t_P - 150 = 0$.

$8 t_P^2 - 10 t_P - 75 = 0$.

$t_P = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(8)(-75)}}{16} = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 2400}}{16} = \frac{10 \pm \sqrt{2500}}{16} = \frac{10 \pm 50}{16}$.

$t_P = \frac{60}{16} = \frac{15}{4} = 3.75$.

$d = 30 + 8t_P = 30 + 8(3.75) = 30 + 30 = 60$.

3. 最終的な答え

2地点A, B間の距離は60kmです。