次の計算をしなさい。 $(5\sqrt{2}-\sqrt{20})(\sqrt{50}+2\sqrt{5})$

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

$(5\sqrt{2}-\sqrt{20})(\sqrt{50}+2\sqrt{5})$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{20}$と$\sqrt{50}$を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

与式に代入すると、

$(5\sqrt{2}-2\sqrt{5})(5\sqrt{2}+2\sqrt{5})$

これは、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$の公式が使えます。

$a = 5\sqrt{2}, b = 2\sqrt{5}$とすると、

$(5\sqrt{2}-2\sqrt{5})(5\sqrt{2}+2\sqrt{5}) = (5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2$

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \times (\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

よって、$(5\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{5})^2 = 50 - 20 = 30$

3. 最終的な答え

30