問題1は $x^6 - y^6$ を因数分解し、空欄を埋める問題です。 問題2は $(x - 2y)^8$ の展開式について、一般項と $x^5y^3$ の係数を求める問題です。

## 回答

1. 問題の内容

問題1は $x^6 - y^6$ を因数分解し、空欄を埋める問題です。

問題2は $(x - 2y)^8$ の展開式について、一般項と $x^5y^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

**問題1**

$x^6 - y^6$ を因数分解します。

まず、 $x^6 - y^6$ を $(x^3)^2 - (y^3)^2$ と見て、2乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を適用します。

$x^6 - y^6 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

次に、$x^3 + y^3$ と $x^3 - y^3$ を因数分解します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

したがって、

$x^6 - y^6 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)$

$= (x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

よって、空欄1は $x^3$ と $y^3$, 空欄2は $x^2 + xy + y^2$ (選択肢⑤), 空欄3は $x^2 - xy + y^2$ (選択肢⑦)です。

**問題2**

(1) $(x - 2y)^8$ の一般項を求めます。二項定理より、

$(x - 2y)^8 = \sum_{r=0}^{8} {}_8C_r x^{8-r} (-2y)^r = \sum_{r=0}^{8} {}_8C_r (-2)^r x^{8-r} y^r$

したがって、一般項は ${}_8C_r (-2)^r x^{8-r} y^r$ (選択肢③) です。

(2) $x^5y^3$ の係数を求めるには、一般項で $r = 3$ を代入します。

${}_8C_3 (-2)^3 x^{8-3} y^3 = {}_8C_3 (-8) x^5 y^3$

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

したがって、係数は $56 \times (-8) = -448$ (選択肢①)です。

3. 最終的な答え

問題1: 空欄1: $x^3$, $y^3$, 空欄2: ⑤, 空欄3: ⑦

問題2: (1) ③, (2) ①