実数 $x$, $y$ が $x \ge 4$, $y \ge 1$, $xy = 64$ を満たすとき、$z = (\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値、およびそれぞれのときの $x$, $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が $x \ge 4$, $y \ge 1$, $xy = 64$ を満たすとき、$z = (\log_2 x)(\log_2 y)$ の最大値と最小値、およびそれぞれのときの $x$, $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy = 64$ より、$y = \frac{64}{x}$ である。

$x \ge 4$ かつ $y \ge 1$ であるから、$x \ge 4$ かつ $\frac{64}{x} \ge 1$ が成り立つ。

$\frac{64}{x} \ge 1$ より、$64 \ge x$ であるので、$4 \le x \le 64$ が成立する。

次に、$z$ を $x$ の関数として表す。

$y = \frac{64}{x}$ より、$\log_2 y = \log_2 \frac{64}{x} = \log_2 64 - \log_2 x = 6 - \log_2 x$ である。

したがって、

$$z = (\log_2 x)(\log_2 y) = (\log_2 x)(6 - \log_2 x)$$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、

$4 \le x \le 64$ より、$\log_2 4 \le \log_2 x \le \log_2 64$ であるから、$2 \le t \le 6$ となる。

$z = t(6-t) = -t^2 + 6t = -(t-3)^2 + 9$ である。

$z$ は $t=3$ のとき最大値 $9$ をとり、$t=2$ または $t=6$ のとき最小値 $8$ をとる。

$t = 3$ のとき、$\log_2 x = 3$ より $x = 2^3 = 8$ である。

このとき、$y = \frac{64}{8} = 8$ である。

$t = 2$ のとき、$\log_2 x = 2$ より $x = 2^2 = 4$ である。

このとき、$y = \frac{64}{4} = 16$ である。

$t = 6$ のとき、$\log_2 x = 6$ より $x = 2^6 = 64$ である。

このとき、$y = \frac{64}{64} = 1$ である。

3. 最終的な答え

$z$ の最大値は $9$ であり、そのとき $x = 8$, $y = 8$ である。

$z$ の最小値は $8$ であり、そのとき $x = 4$, $y = 16$ または $x = 64$, $y = 1$ である。