ラジウムの半減期が1600年であるとき、ラジウムの量が最初の量の$\frac{1}{1000}$以下になるには少なくとも何年かかるかを、$\log_{10}2 = 0.30$を用いて整数で求める問題です。

1. 問題の内容

ラジウムの半減期が1600年であるとき、ラジウムの量が最初の量の$\frac{1}{1000}$以下になるには少なくとも何年かかるかを、$\log_{10}2 = 0.30$を用いて整数で求める問題です。

2. 解き方の手順

半減期が1600年なので、$n$年後のラジウムの量は、$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{1600}}$ 倍になります。

これが$\frac{1}{1000}$以下になる時を求めます。

$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{1600}} \leq \frac{1}{1000}$

両辺の常用対数をとります。

$\log_{10}(\frac{1}{2})^{\frac{n}{1600}} \leq \log_{10}\frac{1}{1000}$

$\frac{n}{1600} \log_{10}(\frac{1}{2}) \leq \log_{10}10^{-3}$

$\frac{n}{1600} (\log_{10}1 - \log_{10}2) \leq -3$

$\frac{n}{1600} (0 - 0.30) \leq -3$

$\frac{n}{1600} (-0.30) \leq -3$

両辺を-1で割ると、不等号の向きが変わります。

$\frac{n}{1600} (0.30) \geq 3$

$\frac{n}{1600} \geq \frac{3}{0.30}$

$\frac{n}{1600} \geq 10$

$n \geq 1600 \times 10$

$n \geq 16000$

3. 最終的な答え

16000年