ラジウムの半減期が1600年であるとき、ラジウムが最初の量の$1/1000$以下になるには、少なくとも何年かかるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.30$とします。

1. 問題の内容

ラジウムの半減期が1600年であるとき、ラジウムが最初の量の$1/1000$以下になるには、少なくとも何年かかるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.30$とします。

2. 解き方の手順

半減期の回数を$n$とします。すると、$n$回半減期を経た後のラジウムの量は、最初の量の$(1/2)^n$倍になります。問題文より、この量が$1/1000$以下になるので、以下の不等式が成り立ちます。

$(\frac{1}{2})^n \le \frac{1}{1000}$

両辺の逆数を取ると、不等号の向きが変わるので、

$2^n \ge 1000$

両辺の常用対数を取ると、

$\log_{10}2^n \ge \log_{10}1000$

$n\log_{10}2 \ge \log_{10}10^3$

$n\log_{10}2 \ge 3$

$\log_{10}2 = 0.30$より、

$0.30n \ge 3$

$n \ge \frac{3}{0.30}$

$n \ge 10$

したがって、半減期を少なくとも10回繰り返す必要があります。ラジウムの半減期は1600年なので、必要な年数は、

$1600 \times 10 = 16000$

3. 最終的な答え

16000年