実数 $x$, $y$ が $x \geq 1$, $y \geq \frac{1}{9}$, $xy = 81$ を満たすとき、$z = (\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値、およびそれぞれのときの $x$, $y$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ が $x \geq 1$, $y \geq \frac{1}{9}$, $xy = 81$ を満たすとき、$z = (\log_3 x)(\log_3 y)$ の最大値と最小値、およびそれぞれのときの $x$, $y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$xy = 81$ より、$y = \frac{81}{x}$。

$y \geq \frac{1}{9}$ より、$\frac{81}{x} \geq \frac{1}{9}$。したがって、$x \leq 729$。

よって、$1 \leq x \leq 729$。

$z = (\log_3 x)(\log_3 y) = (\log_3 x)(\log_3 \frac{81}{x}) = (\log_3 x)(\log_3 81 - \log_3 x) = (\log_3 x)(4 - \log_3 x)$。

ここで、$t = \log_3 x$ とおくと、$x = 3^t$ であり、$1 \leq x \leq 729$ より、$0 \leq t \leq 6$。

$z = t(4 - t) = -t^2 + 4t = -(t - 2)^2 + 4$。

$t = 2$ のとき、$z = 4$ で最大。このとき、$x = 3^2 = 9$, $y = \frac{81}{9} = 9$。

$t = 0$ のとき、$z = 0$ で最小。このとき、$x = 3^0 = 1$, $y = \frac{81}{1} = 81$。

$t = 6$ のとき、$z = -12$。 このとき、$x = 3^6 = 729$, $y = \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$。

$z = t(4 - t)$ のグラフは上に凸な放物線であり、軸は $t = 2$ である。定義域は $0 \leq t \leq 6$ である。

$t = 2$ で最大値 $4$ をとる。このとき、$x = 9$, $y = 9$。

$t = 6$ で最小値 $-12$ をとる。このとき、$x = 729$, $y = \frac{1}{9}$。

3. 最終的な答え

最大値: $4$ ($x=9$, $y=9$ のとき)

最小値: $-12$ ($x=729$, $y=\frac{1}{9}$ のとき)