不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が $4$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $2x+a > 5(x-1)$ を満たす $x$ のうち、最大の整数が $4$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$2x + a > 5(x-1)$

$2x + a > 5x - 5$

$-3x > -5 - a$

$3x < 5 + a$

$x < \frac{5+a}{3}$

問題文より、この不等式を満たす最大の整数が $4$ であることから、次の条件を満たす必要があります。

$4 < \frac{5+a}{3} \leq 5$

この不等式を解きます。まず、各辺を $3$ 倍します。

$12 < 5 + a \leq 15$

次に、各辺から $5$ を引きます。

$12 - 5 < a \leq 15 - 5$

$7 < a \leq 10$

3. 最終的な答え

$7 < a \leq 10$