あるフィルターに光を通すと、1枚通すごとに光の強さが20%弱まる。光を元の強さの5%未満に弱めるには、このフィルターを何枚以上通せばよいか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ を用いて求める。

1. 問題の内容

あるフィルターに光を通すと、1枚通すごとに光の強さが20%弱まる。光を元の強さの5%未満に弱めるには、このフィルターを何枚以上通せばよいか。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$ を用いて求める。

2. 解き方の手順

フィルターを$n$枚通した後の光の強さを考える。

元の光の強さを1とする。1枚フィルターを通ると、光の強さは$1 - 0.2 = 0.8$になる。$n$枚通した後の光の強さは$0.8^n$となる。

問題文より、$0.8^n < 0.05$となる最小の$n$を求める。

両辺の常用対数をとると、

$log_{10}(0.8^n) < log_{10}(0.05)$

$n \cdot log_{10}(0.8) < log_{10}(0.05)$

$n \cdot log_{10}(\frac{8}{10}) < log_{10}(\frac{5}{100})$

$n \cdot (log_{10}8 - log_{10}10) < log_{10}5 - log_{10}100$

$n \cdot (log_{10}2^3 - 1) < log_{10}\frac{10}{2} - 2$

$n \cdot (3log_{10}2 - 1) < log_{10}10 - log_{10}2 - 2$

$n \cdot (3 \times 0.3010 - 1) < 1 - 0.3010 - 2$

$n \cdot (0.9030 - 1) < -1.3010$

$n \cdot (-0.0970) < -1.3010$

両辺を$-0.0970$で割ると、不等号の向きが変わる。

$n > \frac{-1.3010}{-0.0970} = \frac{1.3010}{0.0970} = \frac{1301}{97}$

$n > 13.412...$

$n$は整数であるため、$n \geq 14$となる。

3. 最終的な答え

14枚