初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題だけでは、具体的な数列が与えられていないため、$S_n$を最大にする $n$ とその時の $S_n$ の値を求めることができません。

一般的な数列の和 $S_n$ が最大になる条件について考えます。

一般に、$S_n$ が最大になるのは、$a_n$ が正から負に変わるとき、つまり

$a_n > 0$ かつ $a_{n+1} \le 0$ のときです。

$S_n$ は $a_1 + a_2 + ... + a_n$ で表されるので、 $a_n$ が正のうちは $S_n$ は増加し続けます。

$a_n$ が負になると $S_n$ は減少するため、$a_n$ が正から負に変わる直前で $S_n$ は最大になります。

具体的な数列 $\{a_n\}$ が与えられれば、$a_n > 0$ となる $n$ の範囲を求め、$a_{n+1} \le 0$ となる $n$ を見つけることで、$S_n$ を最大にする $n$ を決定できます。その後、$S_n$ の公式に求めた $n$ を代入することで、$S_n$ の最大値を求めることができます。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ が与えられていないため、$S_n$が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を特定することはできません。

具体例として、$a_n = 5 - n$ という数列を考えます。

このとき、$a_n > 0$ となるのは $5 - n > 0$、つまり $n < 5$ のときです。

$a_5 = 5 - 5 = 0$ です。

$a_6 = 5 - 6 = -1 < 0$ です。

したがって、$S_n$ が最大になるのは $n = 4$ または $n = 5$ のときです。

$a_n$ の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ なので、

$S_4 = \frac{4}{2}(4 + 1) = 10$

$S_5 = \frac{5}{2}(4 + 0) = 10$

このとき $S_4 = S_5 = 10$ が最大値です。

したがって、この例では $n=4$ または $n=5$ のとき、$S_n = 10$ となります。

数列が具体的に与えられていれば、$n$ と $S_n$ の値を求めることができます。

問題文からは数列が不明のため、一般的な説明に留めます。