第10項が81、第25項が51である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 一般項 $a_n$ を求めよ。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

第10項が81、第25項が51である等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_n$ が最大になるときの $n$ とそのときの $S_n$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とおく。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

問題文より、$a_{10} = 81$ かつ $a_{25} = 51$ であるから、以下の2つの式が成り立つ。

$a + 9d = 81$

$a + 24d = 51$

この連立方程式を解く。2番目の式から1番目の式を引くと、

$15d = -30$

$d = -2$

これを最初の式に代入すると、

$a + 9(-2) = 81$

$a - 18 = 81$

$a = 99$

したがって、一般項は

$a_n = 99 + (n-1)(-2) = 99 - 2n + 2 = 101 - 2n$

(2) $S_n$ が最大になるのは、$a_n > 0$ である最大の $n$ までの和である。

$a_n = 101 - 2n > 0$ を解くと、

$2n < 101$

$n < 50.5$

したがって、$a_{50} > 0$ かつ $a_{51} < 0$ であるから、$S_n$ が最大になるのは $n=50$ のときである。

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

$S_{50} = \frac{50}{2}(2(99) + (50-1)(-2)) = 25(198 - 98) = 25(100) = 2500$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 101 - 2n$

(2) $n = 50$ のとき $S_n$ は最大になり、$S_{50} = 2500$