$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になるとき、$\log_{10}E$が$M$の線形関数で表せるのはなぜか。また、線形関数とは何か。

1. 問題の内容

$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になるとき、$\log_{10}E$が$M$の線形関数で表せるのはなぜか。また、線形関数とは何か。

2. 解き方の手順

$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になるという関係を数式で表します。

$M$の値を$M_0$から$M_0 + 2$に変化させると、$E$の値は$E_0$から$1000E_0$になります。

$\log_{10}E$で考えると、

$\log_{10}(1000E_0) = \log_{10}1000 + \log_{10}E_0 = 3 + \log_{10}E_0$となります。

したがって、$M$が2増えると、$\log_{10}E$は3増えます。これは、$\log_{10}E$が$M$に比例する関係にあることを示唆しています。

$y = ax + b$のような一次関数（線形関数）は、変化量に対して一定の変化率を持ちます。

$\log_{10} E$を$y$, $M$を$x$とおくと、$\log_{10}E$は$M$の線形関数で表すことができます。

一般的に、$M$と$E$の関係を

$E = a b^M$

と仮定できます。$M$が2増えると$E$が1000倍になることから

$a b^{M+2} = 1000 a b^M$

$b^2 = 1000$

$b = \sqrt{1000} = 10^{3/2}$

$E = a (10^{3/2})^M = a 10^{3M/2}$

両辺の常用対数をとると

$\log_{10} E = \log_{10} (a 10^{3M/2}) = \log_{10} a + \frac{3}{2}M$

これは$M$に関する線形関数です。

線形関数とは、一次関数のことで、$y = ax + b$ (a, bは定数)の形で表される関数です。グラフにすると直線になります。

3. 最終的な答え

$M$が2増えると$E$が1000倍になる場合、$\log_{10}E$は$M$に比例して増加します。これは$\log_{10}E$が$M$の線形関数（一次関数）で表せることを意味します。 線形関数とは、$y = ax + b$の形で表される関数のことです。