問題文は、「Mが2増えるごとにEが1000倍になる。これは、$\log_{10}E$がMの線形関数で表せると考えられる。なぜですか？また、線形関数とはなんですか？」というものです。 つまり、MとEの関係が与えられたとき、$\log_{10}E$がMの線形関数で表せる理由と、線形関数の定義を問うています。

1. 問題の内容

問題文は、「Mが2増えるごとにEが1000倍になる。これは、$\log_{10}E$がMの線形関数で表せると考えられる。なぜですか？また、線形関数とはなんですか？」というものです。 つまり、MとEの関係が与えられたとき、$\log_{10}E$がMの線形関数で表せる理由と、線形関数の定義を問うています。

2. 解き方の手順

まず、$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になるという条件を数式で表します。

$M$が$M_0$のとき、$E$が$E_0$であるとします。

$M$が$M_0 + 2$のとき、$E$は$1000E_0$になります。

この関係を一般化すると、$E = E_0 \times 1000^{(M - M_0)/2}$と表せます。

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} E = \log_{10} (E_0 \times 1000^{(M - M_0)/2})$

$\log_{10} E = \log_{10} E_0 + \log_{10} (1000^{(M - M_0)/2})$

$\log_{10} E = \log_{10} E_0 + \frac{M - M_0}{2} \log_{10} 1000$

$\log_{10} E = \log_{10} E_0 + \frac{M - M_0}{2} \times 3$

$\log_{10} E = \log_{10} E_0 + \frac{3}{2}M - \frac{3}{2}M_0$

$\log_{10} E = \frac{3}{2}M + (\log_{10} E_0 - \frac{3}{2}M_0)$

ここで、$a = \frac{3}{2}$、$b = \log_{10} E_0 - \frac{3}{2}M_0$ とおくと、

$\log_{10} E = aM + b$

これは、$y = ax + b$の形の線形関数です。

線形関数とは、一般に一次関数のことを指します。つまり、$y = ax + b$ (a, b は定数) の形で表される関数です。グラフにすると直線になることが特徴です。

3. 最終的な答え

$\log_{10}E$が$M$の線形関数で表せる理由は、$M$が2増えるごとに$E$が1000倍になるという条件から、$\log_{10}E = aM + b$ ($a, b$は定数)の形で表せるからです。線形関数とは、$y = ax + b$ ($a, b$は定数) の形で表される関数です。