次の式を計算してください。 $\frac{6}{3+\sqrt{5}} + \frac{2}{3-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

次の式を計算してください。

$\frac{6}{3+\sqrt{5}} + \frac{2}{3-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

$\frac{6}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、$3-\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{6}{3+\sqrt{5}} = \frac{6(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{6(3-\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6(3-\sqrt{5})}{9-5} = \frac{6(3-\sqrt{5})}{4} = \frac{3(3-\sqrt{5})}{2} = \frac{9-3\sqrt{5}}{2}$

$\frac{2}{3-\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、$3+\sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

したがって、

$\frac{6}{3+\sqrt{5}} + \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{9-3\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{(9-3\sqrt{5}) + (3+\sqrt{5})}{2} = \frac{12-2\sqrt{5}}{2} = 6-\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$6-\sqrt{5}$