地震のマグニチュード $M$ は地震のエネルギー $E$ の大きさを表す数値であり、$M$ が2増えるごとに $E$ は1000倍になる。$M=1.0$ のとき、$\log_{10} E = 6.3$ である。 (1) $\log_{10} E$ を $M$ を用いて表しなさい。 (2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めなさい。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード $M$ は地震のエネルギー $E$ の大きさを表す数値であり、$M$ が2増えるごとに $E$ は1000倍になる。$M=1.0$ のとき、$\log_{10} E = 6.3$ である。

(1) $\log_{10} E$ を $M$ を用いて表しなさい。

(2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $M$ が2増えると $E$ は1000倍になるという条件から、$M$ と $\log_{10} E$ の関係を求める。$M=1.0$ のとき、$\log_{10} E = 6.3$ であることを用いて、$\log_{10} E$ を $M$ の式で表す。

$M$ が2増えると、$E$ は1000倍になるので、$\log_{10} E$ は $\log_{10} 1000 = 3$ 増える。つまり、$\frac{M}{2}$ 増えると$\frac{3}{2}$倍になる。

$M=1.0$ のとき $\log_{10} E = 6.3$ なので、$M=1.0 + x$ とおくと、$\log_{10} E = 6.3 + \frac{3x}{2}$。

$x = M - 1.0$ なので、

$\log_{10} E = 6.3 + \frac{3(M - 1)}{2}$

$\log_{10} E = 6.3 + \frac{3}{2}M - \frac{3}{2}$

$\log_{10} E = \frac{3}{2}M + 6.3 - 1.5$

$\log_{10} E = \frac{3}{2}M + 4.8$

(2) $E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるときの $M$ の減少量を求める。

$E$ が $\frac{1}{10}$ 倍になるということは、$\log_{10} E$ が $\log_{10} \frac{1}{10} = -1$ だけ減少するということ。

(1) で求めた $\log_{10} E$ の式から、$M$ の変化量を求める。

$\log_{10} E = \frac{3}{2}M + 4.8$

$\log_{10} (\frac{1}{10} E) = \frac{3}{2} (M - \Delta M) + 4.8$

$\log_{10} (\frac{1}{10} E) = \log_{10} \frac{1}{10} + \log_{10} E = -1 + \log_{10} E$

$-1 + \log_{10} E = -1 + \frac{3}{2}M + 4.8 = \frac{3}{2} (M - \Delta M) + 4.8$

$-1 + \frac{3}{2}M + 4.8 = \frac{3}{2} M - \frac{3}{2} \Delta M + 4.8$

$-1 = - \frac{3}{2} \Delta M$

$\Delta M = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10} E = \frac{3}{2}M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$