与えられた式 $-7x^2y - 14xy + 105y$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $-7x^2y - 14xy + 105y$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式全体に共通因数がないか探します。全ての項は $y$ で割り切れます。また、係数は $-7$ で割り切れることに気づきます。そこで、$-7y$ を共通因数として括り出します。

$-7x^2y - 14xy + 105y = -7y(x^2 + 2x - 15)$

次に、括弧の中の二次式 $x^2 + 2x - 15$ を因数分解します。

この二次式を $(x+a)(x+b)$ の形に因数分解することを考えます。

$a$ と $b$ は $a+b=2$ かつ $ab=-15$ を満たす必要があります。

$a=5$ と $b=-3$ が条件を満たします。なぜなら $5 + (-3) = 2$ であり、$5 \times (-3) = -15$ だからです。

したがって、$x^2 + 2x - 15$ は $(x+5)(x-3)$ と因数分解できます。

よって、元の式は次のように因数分解されます。

$-7x^2y - 14xy + 105y = -7y(x^2 + 2x - 15) = -7y(x+5)(x-3)$

3. 最終的な答え

$-7y(x+5)(x-3)$