5つの問題を解きます。 (1) 2Lの水が入っている水槽に、7分間に3Lずつ水を入れる。水を入れ始めてからx分後の水槽内の水量をyLとする。水槽がいっぱいになるまでのx, yの関係式を求める。 (2) 2直線 $y = -5x + 3$ と $y = 2x - 4$ の交点の座標を求める。 (3) 2直線 $y = 3x - 10$ と $y = -\frac{1}{3}x + 10$ の交点の座標を求める。 (4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。 (5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のときの $y$ の変域を求める。

1. 問題の内容

5つの問題を解きます。

(1) 2Lの水が入っている水槽に、7分間に3Lずつ水を入れる。水を入れ始めてからx分後の水槽内の水量をyLとする。水槽がいっぱいになるまでのx, yの関係式を求める。

(2) 2直線 $y = -5x + 3$ と $y = 2x - 4$ の交点の座標を求める。

(3) 2直線 $y = 3x - 10$ と $y = -\frac{1}{3}x + 10$ の交点の座標を求める。

(4) 関数 $y = -x^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ のときの $y$ の変域を求める。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ のときの $y$ の変域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 水槽に最初に入っている水量は2L。7分間に3Lずつ水を入れるので、1分間には $\frac{3}{7}$Lずつ水を入れることになる。したがって、$y$ は $y = \frac{3}{7}x + 2$ と表せる。水槽がいっぱいになるまで、という条件がないので、これはそのまま答えとなる。

(2) 2直線の交点の座標は、2つの式を連立させて解くことで求まる。

$y = -5x + 3$

$y = 2x - 4$

これらを連立して解くと、

$-5x + 3 = 2x - 4$

$7x = 7$

$x = 1$

$x = 1$ を $y = 2x - 4$ に代入すると、

$y = 2(1) - 4 = -2$

よって、交点の座標は $(1, -2)$ である。

(3) 2直線の交点の座標は、2つの式を連立させて解くことで求まる。

$y = 3x - 10$

$y = -\frac{1}{3}x + 10$

これらを連立して解くと、

$3x - 10 = -\frac{1}{3}x + 10$

両辺を3倍して

$9x - 30 = -x + 30$

$10x = 60$

$x = 6$

$x = 6$ を $y = 3x - 10$ に代入すると、

$y = 3(6) - 10 = 18 - 10 = 8$

よって、交点の座標は $(6, 8)$ である。

(4) 関数 $y = -x^2$ は上に凸の放物線である。$x$ の変域が $-2 \le x \le 1$ であるとき、$x = 0$ で最大値 $y = 0$ をとる。$x = -2$ のとき $y = -(-2)^2 = -4$、$x = 1$ のとき $y = -(1)^2 = -1$ である。したがって、$y$ の変域は $-4 \le y \le 0$ である。

(5) 関数 $y = \frac{2}{3}x^2$ は下に凸の放物線である。$x$ の変域が $-3 \le x \le \sqrt{3}$ であるとき、$x = 0$ で最小値 $y = 0$ をとる。$x = -3$ のとき $y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3}(9) = 6$、$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \frac{2}{3}(\sqrt{3})^2 = \frac{2}{3}(3) = 2$ である。したがって、$y$ の最大値は6なので、$y$ の変域は $0 \le y \le 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{3}{7}x + 2$

(2) (1, -2)

(3) (6, 8)

(4) $-4 \le y \le 0$

(5) $0 \le y \le 6$