与えられた式を簡略化します。 $\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{x^2-y^2}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化します。

$\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{x^2-y^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

次に、共通分母 $(x+y)(x-y)$ を使って、二つの分数を足し合わせます。

$\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{x^2-y^2} = \frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{(x+y)(x-y)}$

$\frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x-y}{x-y} + \frac{2xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)} + \frac{2xy}{(x+y)(x-y)}$

$\frac{(x-y)^2 + 2xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 + 2xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x+y)(x-y)}$

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$