関数 $y=ax^2$ (①), $y=4$ (②), $y=1$ (③) のグラフが与えられている。 ①と②の交点のうち、$x$ 座標が小さい方を A, 大きい方を B とする。①と③の交点のうち、$x$ 座標が負の点を C とする。 (1) AB = 8 のとき、点 B の座標と $a$ の値を求めよ。また、このとき、点 C の座標と直線 BC の式を求めよ。 (2) (1) のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③および線分 BC と交わる点をそれぞれ P, Q, R とする。BP:CQ = 1:2 のとき、点 R の座標と三角形 BPR の面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ (①), $y=4$ (②), $y=1$ (③) のグラフが与えられている。

①と②の交点のうち、$x$ 座標が小さい方を A, 大きい方を B とする。①と③の交点のうち、$x$ 座標が負の点を C とする。

(1) AB = 8 のとき、点 B の座標と $a$ の値を求めよ。また、このとき、点 C の座標と直線 BC の式を求めよ。

(2) (1) のとき、傾きが正の原点を通る直線④が、②、③および線分 BC と交わる点をそれぞれ P, Q, R とする。BP:CQ = 1:2 のとき、点 R の座標と三角形 BPR の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点 B の $y$ 座標は $y=4$ である。AB = 8 より、点 A の $x$ 座標を $s$ とすると、点 B の $x$ 座標は $s+8$ となる。点 A, B は $y=4$ 上にあるので、点 A の座標は $(s, 4)$, 点 B の座標は $(s+8, 4)$ と表せる。

点 A, B は $y=ax^2$ 上にあるので、

$4 = as^2$

$4 = a(s+8)^2$

これらの方程式から $a$ と $s$ の値を求める。

$as^2 = a(s+8)^2$

$s^2 = (s+8)^2$

$s^2 = s^2 + 16s + 64$

$16s + 64 = 0$

$16s = -64$

$s = -4$

したがって、点 A の座標は $(-4, 4)$, 点 B の座標は $(4, 4)$ である。

$a = \frac{4}{s^2} = \frac{4}{(-4)^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

したがって、$a = \frac{1}{4}$ である。

次に、点 C の座標を求める。点 C は $y=ax^2$ と $y=1$ の交点なので、$y=1$ を $y=ax^2 = \frac{1}{4}x^2$ に代入する。

$1 = \frac{1}{4}x^2$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

点 C の $x$ 座標は負なので、点 C の座標は $(-2, 1)$ である。

最後に、直線 BC の式を求める。B(4, 4) と C(-2, 1) を通る直線の式を $y = mx + n$ とすると、

$4 = 4m + n$

$1 = -2m + n$

上の式から下の式を引くと、

$3 = 6m$

$m = \frac{1}{2}$

$n = 1 + 2m = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

したがって、直線 BC の式は $y = \frac{1}{2}x + 2$ である。

(2)

点 P は直線④と $y=4$ の交点であり、点 Q は直線④と $y=1$ の交点である。また、BP:CQ = 1:2 である。

直線④は原点を通るので、$y = kx$ と表せる。(1) より、B(4, 4), C(-2, 1) である。

点 P の $x$ 座標を $p$ とすると、P の座標は $(p, 4)$ であり、直線④上にあるので、$4 = kp$ となり、$p = \frac{4}{k}$ となる。

点 Q の $x$ 座標を $q$ とすると、Q の座標は $(q, 1)$ であり、直線④上にあるので、$1 = kq$ となり、$q = \frac{1}{k}$ となる。

BP = $|4 - p| = |4 - \frac{4}{k}|$

CQ = $|-2 - q| = |-2 - \frac{1}{k}|$

BP:CQ = 1:2 なので、

$2|4 - \frac{4}{k}| = |-2 - \frac{1}{k}|$

$|8 - \frac{8}{k}| = |-2 - \frac{1}{k}|$

$|8 - \frac{8}{k}| = |2 + \frac{1}{k}|$

$8 - \frac{8}{k} = 2 + \frac{1}{k}$ または $8 - \frac{8}{k} = -2 - \frac{1}{k}$

$6 = \frac{9}{k}$ または $10 = \frac{7}{k}$

$k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ または $k = \frac{7}{10}$

直線④は傾きが正なので、$k > 0$。

$k=\frac{3}{2}$ のとき、P の座標は $(\frac{8}{3}, 4)$, Q の座標は $(\frac{2}{3}, 1)$。

$k=\frac{7}{10}$ のとき、P の座標は $(\frac{40}{7}, 4)$, Q の座標は $(\frac{10}{7}, 1)$。

直線④の式は $y = \frac{3}{2}x$ であるとする。

直線 BC は $y = \frac{1}{2}x + 2$ なので、R は $\frac{3}{2}x = \frac{1}{2}x + 2$ を満たす。

$x = 2$ より、R(2, 3) である。

B(4, 4), P($\frac{8}{3}$, 4), R(2, 3) より、三角形 BPR の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot (4 - \frac{8}{3}) \cdot (4 - 3) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$

直線④の式は $y = \frac{7}{10}x$ であるとする。

直線 BC は $y = \frac{1}{2}x + 2$ なので、R は $\frac{7}{10}x = \frac{1}{2}x + 2$ を満たす。

$\frac{1}{5}x = 2$ より、$x = 10$ なので、これは不適切である。

3. 最終的な答え

(1) 点 B の座標: (4, 4), $a = \frac{1}{4}$

点 C の座標: (-2, 1), 直線 BC の式: $y = \frac{1}{2}x + 2$

(2) 点 R の座標: (2, 3), 三角形 BPR の面積: $\frac{2}{3}$