次の方程式を解きます。 $7\sqrt{5}(6\sqrt{3}+8\sqrt{2}) = x^2 - 6\sqrt{6}x + 1$

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

$7\sqrt{5}(6\sqrt{3}+8\sqrt{2}) = x^2 - 6\sqrt{6}x + 1$

2. 解き方の手順

まず、方程式の左辺を計算します。

$7\sqrt{5}(6\sqrt{3}+8\sqrt{2}) = 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}$

したがって、方程式は次のようになります。

$42\sqrt{15} + 56\sqrt{10} = x^2 - 6\sqrt{6}x + 1$

式を整理します。

$x^2 - 6\sqrt{6}x + 1 - 42\sqrt{15} - 56\sqrt{10} = 0$

これは $x$ に関する二次方程式です。解の公式を使用すると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -6\sqrt{6}$, $c = 1 - 42\sqrt{15} - 56\sqrt{10}$ です。

$b^2 = (-6\sqrt{6})^2 = 36 \times 6 = 216$

$4ac = 4(1)(1 - 42\sqrt{15} - 56\sqrt{10}) = 4 - 168\sqrt{15} - 224\sqrt{10}$

$x = \frac{6\sqrt{6} \pm \sqrt{216 - (4 - 168\sqrt{15} - 224\sqrt{10})}}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{6} \pm \sqrt{212 + 168\sqrt{15} + 224\sqrt{10}}}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{6} \pm \sqrt{4(53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10})}}{2}$

$x = \frac{6\sqrt{6} \pm 2\sqrt{53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}}}{2}$

$x = 3\sqrt{6} \pm \sqrt{53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}}$

ここで、$53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10} = (a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5})^2$ という形になるか検討します。

$(a\sqrt{2} + b\sqrt{3} + c\sqrt{5})^2 = 2a^2 + 3b^2 + 5c^2 + 2ab\sqrt{6} + 2ac\sqrt{10} + 2bc\sqrt{15}$

すると、$2ab = 0$, $2ac = 56$, $2bc = 42$。したがって、$a = 0$となり、$53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10} = (7\sqrt{2} + 6\sqrt{3} + 0\sqrt{5})^2$となりません。

元の式をよく見ると、$7\sqrt{5}(6\sqrt{3} + 8\sqrt{2}) = 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}$

$x^2 - 6\sqrt{6} x + 1 = x^2 - 2(3\sqrt{6})x + (3\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{6})^2 + 1 = (x - 3\sqrt{6})^2 - 54 + 1 = (x - 3\sqrt{6})^2 - 53$

したがって、 $42\sqrt{15} + 56\sqrt{10} = (x-3\sqrt{6})^2 - 53$

$(x-3\sqrt{6})^2 = 53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}$

$x-3\sqrt{6} = \pm \sqrt{53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}}$

$x = 3\sqrt{6} \pm \sqrt{53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}}$

元の問題文が間違っている可能性があります。

3. 最終的な答え

最終的な答え：

$x = 3\sqrt{6} \pm \sqrt{53 + 42\sqrt{15} + 56\sqrt{10}}$