与えられた式 $x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式は $x^4$ と $16$ がそれぞれ $(x^2)^2$ と $4^2$ であり、平方完成の形に似ています。

$x^4 + 8x^2 + 16$ であれば $(x^2 + 4)^2$ となりますが、$4x^2$ しかないので、 $4x^2$ を加えて引くことで平方完成の形を作り出します。

$x^4 + 4x^2 + 16 = x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2$

$= (x^2 + 4)^2 - (2x)^2$

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、因数分解できます。

$A = x^2 + 4$ 、 $B = 2x$ とすると、

$(x^2 + 4)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 4 + 2x)(x^2 + 4 - 2x)$

$= (x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$